Cálculo Ejemplos

$f (x) = x (6 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 6 - x$ .

$x \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- 1 \cdot x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- x + (6 - x) \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.1.2.8.1

Multiplica $6 - x$ por $1$ .

$- x + 6 - x$

Paso 1.1.1.2.8.2

Resta $x$ de $- x$ .

$f' (x) = - 2 x + 6$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x + 6$ .

$- 2 x + 6$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x + 6 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x + 6 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 6$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- 2 x = - 6$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- 2 x = - 6$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $- 6$ por $- 2$ .

$x = 3$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x (6 - x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$(3) (6 - (3))$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (6 - 3)$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $3$ de $6$ .

$3 \cdot 3$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(3, 9)$

Paso 2

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 2.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 2.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 3)$ en la primera derivada $- 2 x + 6$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 6$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 6$

Paso 2.2.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$f' (0) = 6$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 2.3

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(3, \infty)$ en la primera derivada $- 2 x + 6$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - 2 \cdot 6 + 6$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$f' (6) = - 12 + 6$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 12$ y $6$ .

$f' (6) = - 6$

Paso 2.3.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 2.4

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 3$ , $x = 3$ es un máximo local.

$x = 3$ es un máximo local

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, 9)$

Sin mínimo absoluto

Paso 4