Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Paso 2.2.2

Combinar.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $7^{n + 1}$ y $7^{n}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Factoriza $7^{n}$ de $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Factoriza $7^{n}$ de $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $4^{n + 3}$ y $4^{n + 1 + 3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Factoriza $4^{n + 1 + 3}$ de $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Paso 2.2.4.2.4

Divide $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ por $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Paso 2.2.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Suma $1$ y $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Paso 2.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Paso 2.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Paso 2.2.6

Combina los términos opuestos en $n + 3 - n - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Resta $n$ de $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Paso 2.2.6.2

Suma $0$ y $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Paso 2.2.7

Resta $4$ de $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Paso 2.2.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Paso 2.2.9

Combina $7$ y $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Paso 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.