Cálculo Ejemplos

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 1.1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 1.1.2.6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.6.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.10.2

Resta $3$ de $2$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.12

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.13

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.14

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.14.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.14.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.14.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.14.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.15

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - - \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.16

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.17

Multiplica $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.18

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Paso 1.1.2.19

Suma $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.1.3

Suma $0$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x^{5}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x^{5}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{5} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x^{5} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $27 x^{5} = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide cada término en $27 x^{5} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.1.2.1.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x^{5} = 0$

Paso 3.3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 3.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$1 - \frac{1}{{(0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$1 - \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 - \frac{1}{0^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1 - \frac{1}{0}$

Paso 4.1.2.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos