Cálculo Ejemplos

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.3.3

Multiplica ${(x^{2} - 9)}^{2}$ por $1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Paso 1.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2

Factoriza $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

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Paso 1.1.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.2

Factoriza $x^{2} - 9$ de $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.3

Factoriza $x^{2} - 9$ de $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.6.1

Factoriza $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.6.2

Cancela el factor común.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.9

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.14

Suma $1$ y $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.16

Combina $- 18$ y $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.18

Simplifica.

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Paso 1.1.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.18.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.18.2.1

Multiplica $- 3$ por $18$ .

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.18.2.2

Multiplica $18$ por $- 9$ .

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Suma $162$ a ambos lados de la ecuación.

$- 54 x^{2} = 162$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- 54 x^{2} = 162$ por $- 54$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- 54 x^{2} = 162$ por $- 54$ .

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 54$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide $162$ por $- 54$ .

$x^{2} = - 3$

Paso 2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 2.3.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

Paso 3.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

Paso 3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 3.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 3.2.3

Establece ${(x + 3)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Establece ${(x + 3)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Paso 3.2.3.2

Resuelve ${(x + 3)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.2.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.2.4

Establece ${(x - 3)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Establece ${(x - 3)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 3.2.4.2

Resuelve ${(x - 3)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Paso 4

Evalúa $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Resta $9$ de $9$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

Paso 4.1.2.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Resta $9$ de $9$ .

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

Paso 4.2.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{18 (3)}{0}$

Paso 4.2.2.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos