Cálculo Ejemplos

$x^{- 3} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.3.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.4

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.4.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Reordena los términos.

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.6.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.6.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.6.2.4

Combina $\ln (x)$ y $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.6.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

Paso 2.2

Resta $\frac{1}{x^{4}}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- 3 \ln (x) = - 1$

Paso 2.4

Divide cada término en $- 3 \ln (x) = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Divide cada término en $- 3 \ln (x) = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

Paso 2.5

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.6

Reescribe $\ln (x) = \frac{1}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3}} = x$

Paso 2.7

Reescribe la ecuación como $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

$x = e^{\frac{1}{3}}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $x^{- 3} \ln (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $e^{\frac{1}{3}}$ por $x$ .

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{1}{3}$ fuera del exponente.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

Paso 4.1.2.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{e \cdot 3}$

Paso 4.1.2.7

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$\frac{1}{3 e}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

Paso 5