Cálculo Ejemplos

$16 \sin^{2} (2 x)$

Paso 1

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$16 \int \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Combina $\sin^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$16 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$16 (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $16$ .

$\frac{16}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$4 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 12

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 12.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 13

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 15

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$4 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 16

Simplifica.

$4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 17.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Paso 18.1.2

Combina $\sin (4 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (2 x) + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 18.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 18.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (4 x)}{2}$ al numerador.

$8 x + 4 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Paso 18.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$8 x + 2 (2) \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Paso 18.4.3

Cancela el factor común.

$8 x + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Paso 18.4.4

Reescribe la expresión.

$8 x + 2 (- \sin (4 x)) + C$

Paso 18.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 x - 2 \sin (4 x) + C$