Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.5

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.6

Multiplica $3 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.7

Multiplica $12 x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Combina los términos opuestos en $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

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Paso 1.3.3.1.3.1

Suma $- 3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3.2

Suma $3 x^{4} + 12 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.3.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.6

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.8

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $12 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Resta $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.7

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.9

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + 0) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.11

Suma $4 x^{3} + 12 x + 12$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.9.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) + (- 4 x^{4} - 4 (6 x^{2}) - 4 (12 x) - 4 \cdot - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.3.1.2.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.3.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.10.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.5

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 \cdot x^{2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.6

Multiplica $4 x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.7

Multiplica $12 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2.8

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.3

Suma $12 x^{3}$ y $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.4

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 2.10.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{1 + 4} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.4.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.10.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{1 + 2}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{3}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.6

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 (x \cdot x)) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x^{2}) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.8

Multiplica $12$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.1.9

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 2.10.3.2.1

Resta $4 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 + 0 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.2.2

Suma $16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.3

Resta $24 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.4

Resta $48 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x + 12 + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.3.5

Suma $12 x$ y $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.4

Factoriza $4$ de $- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12$ .

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Paso 2.10.4.1

Factoriza $4$ de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.4.2

Factoriza $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.4.3

Factoriza $4$ de $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.4.4

Factoriza $4$ de $12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.4.5

Factoriza $4$ de $4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.4.6

Factoriza $4$ de $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.4.7

Factoriza $4$ de $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.6

Factoriza $- 1$ de $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - (9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{3}) - (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.8

Factoriza $- 1$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.10

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.12

Reescribe $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ como $- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.3.1.2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.3.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.5

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.6

Multiplica $3 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.7

Multiplica $12 x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.3

Combina los términos opuestos en $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

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Paso 4.1.3.3.1.3.1

Suma $- 3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.3.2

Suma $3 x^{4} + 12 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.4

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 4.1.3.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.4.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.6

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.8

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.3.2.1

Resta $12 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.2.2

Suma $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.3

Resta $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 1.61201265, 0.2245718$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1.61201265, 0.2245718$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1.61201265$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{4 (2 {(- 1.61201265)}^{3} + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 1.61201265$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot - 4.18895161 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Multiplica $2$ por $- 4.18895161$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.3

Eleva $- 1.61201265$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 \cdot 2.59858481 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $9$ por $2.59858481$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.5

Multiplica $- 6$ por $- 1.61201265$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.6

Suma $- 8.37790322$ y $23.38726331$ .

$- \frac{4 (15.00936008 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.7

Suma $15.00936008$ y $9.67207595$ .

$- \frac{4 (24.68143604 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.8

Resta $3$ de $24.68143604$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Eleva $- 1.61201265$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{(2.59858481 + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Suma $2.59858481$ y $1$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{3.59858481}^{3}}$

Paso 9.2.3

Eleva $3.59858481$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{46.60099914}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Multiplica $4$ por $21.68143604$ .

$- \frac{86.72574416}{46.60099914}$

Paso 9.3.2

Divide $86.72574416$ por $46.60099914$ .

$- 1 \cdot 1.86102756$

Paso 9.3.3

Multiplica $- 1$ por $1.86102756$ .

$- 1.86102756$

Paso 10

$x = - 1.61201265$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1.61201265$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 1.61201265$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.61201265$ en la expresión.

$f (- 1.61201265) = \frac{{(- 1.61201265)}^{3} + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Eleva $- 1.61201265$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Paso 11.2.1.2

Eleva $- 1.61201265$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 \cdot 2.59858481 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $6$ por $2.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 1.61201265$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Paso 11.2.1.5

Suma $- 4.18895161$ y $15.59150887$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{11.40255726 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Paso 11.2.1.6

Suma $11.40255726$ y $4.83603797$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Eleva $- 1.61201265$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{2.59858481 + 1}$

Paso 11.2.2.2

Suma $2.59858481$ y $1$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{3.59858481}$

Paso 11.2.3

Divide $16.23859524$ por $3.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = 4.51249479$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $4.51249479$ .

$y = 4.51249479$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.2245718$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{4 (2 {(0.2245718)}^{3} + 9 {(0.2245718)}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({(0.2245718)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Eleva $0.2245718$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot 0.01132571 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.2

Multiplica $2$ por $0.01132571$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.3

Eleva $0.2245718$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot 0.05043249 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.4

Multiplica $9$ por $0.05043249$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.5

Multiplica $- 6$ por $0.2245718$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.6

Suma $0.02265143$ y $0.45389244$ .

$- \frac{4 (0.47654387 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7

Resta $1.3474308$ de $0.47654387$ .

$- \frac{4 (- 0.87088692 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.8

Resta $3$ de $- 0.87088692$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Eleva $0.2245718$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{(0.05043249 + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.2

Suma $0.05043249$ y $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{1.05043249}^{3}}$

Paso 13.2.3

Eleva $1.05043249$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{1.15905606}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Multiplica $4$ por $- 3.87088692$ .

$- \frac{- 15.48354771}{1.15905606}$

Paso 13.3.2

Divide $- 15.48354771$ por $1.15905606$ .

$- - 13.35875651$

Paso 13.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 13.35875651$ .

$13.35875651$

Paso 14

$x = 0.2245718$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0.2245718$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 0.2245718$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.2245718$ en la expresión.

$f (0.2245718) = \frac{{(0.2245718)}^{3} + 6 {(0.2245718)}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{(0.2245718)}^{2} + 1}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Eleva $0.2245718$ a la potencia de $3$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot {0.2245718}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Paso 15.2.1.2

Eleva $0.2245718$ a la potencia de $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot 0.05043249 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Paso 15.2.1.3

Multiplica $6$ por $0.05043249$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $0.2245718$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Paso 15.2.1.5

Suma $0.01132571$ y $0.30259496$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.31392067 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Paso 15.2.1.6

Resta $0.6737154$ de $0.31392067$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Paso 15.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Eleva $0.2245718$ a la potencia de $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{0.05043249 + 1}$

Paso 15.2.2.2

Suma $0.05043249$ y $1$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{1.05043249}$

Paso 15.2.3

Divide $- 0.35979472$ por $1.05043249$ .

$f (0.2245718) = - 0.34252055$

Paso 15.2.4

La respuesta final es $- 0.34252055$ .

$y = - 0.34252055$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1.61201265, 4.51249479)$ es un máximo local

$(0.2245718, - 0.34252055)$ es un mínimo local

Paso 17