Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Paso 2.2.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = - x^{2}$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Paso 3.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 3.5.4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 3.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 3.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 3.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 4

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión