Cálculo Ejemplos

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Paso 1

Escribe $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ como una función.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ y $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin^{2} (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.6.1

Mueve $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.2.2.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.8

Reescribe $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 2.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 2.2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $3 \sin (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 3.2.5

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 3.4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 3.4.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.4.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5

Establece $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Reemplaza $4 \cos^{2} (x)$ con $4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.5.2.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.5.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.5.2.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.5.2.3.1

Resta $1$ de $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Paso 3.5.2.3.2

Resta $2 \sin^{2} (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Paso 3.5.2.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Paso 3.5.2.5

Divide cada término en $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.5.1

Divide cada término en $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Paso 3.5.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.5.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 3.5.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Paso 3.5.2.5.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Paso 3.5.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.5.3.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $- 6$ .

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Paso 3.5.2.5.3.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Paso 3.5.2.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.5.3.1.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Paso 3.5.2.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Paso 3.5.2.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.5.2.7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.2.7.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.7.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.7.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.7.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.5.2.7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.2.7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.5.2.7.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.5.2.7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.2.7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.2.7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.2.7.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.2.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.10

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.5.2.10.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 3.5.2.10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.10.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 3.5.2.10.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Paso 3.5.2.10.4

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.10.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 3.5.2.10.4.2

Combina fracciones.

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Paso 3.5.2.10.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 3.5.2.10.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 3.5.2.10.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.10.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 3.5.2.10.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.5.2.10.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.5.2.10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.5.2.10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.5.2.10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.5.2.10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.5.2.10.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5.2.11

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.5.2.11.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 3.5.2.11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.11.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 3.5.2.11.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 3.5.2.11.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.5.2.11.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 3.5.2.11.4.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 3.5.2.11.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.5.2.11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.5.2.11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.5.2.11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.5.2.11.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.5.2.11.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.5.2.11.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 3.5.2.11.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 3.5.2.11.6.3

Combina fracciones.

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Paso 3.5.2.11.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 3.5.2.11.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 3.5.2.11.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.11.6.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 3.5.2.11.6.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 3.5.2.11.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 3.5.2.11.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5.2.12

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5.2.13

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.7

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

El punto que se obtiene mediante la sustitución de en $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ es $(,)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(,)$

Paso 4.2

Sustituye $\frac{π}{4}$ en $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.3.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.2.2.1.3.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.3.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.2.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Paso 4.2.2.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

Paso 4.2.2.1.8

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

Paso 4.2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.2.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.2.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Paso 4.2.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 4.2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Paso 4.2.2.2.3.2.4

Divide $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.3

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{4}$ en $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ es $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Paso 4.4

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty,)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Paso 6.2

La respuesta final es $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 0.88059055$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty,)$ .

Decrecimiento en $(- \infty,)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(, \frac{π}{4})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.39269908$ en la expresión.

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Paso 7.2

La respuesta final es $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Paso 7.3

En $0.39269908$ , la segunda derivada es $2.43538245$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(, \frac{π}{4})$ .

Incremento en $(, \frac{π}{4})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.88539816$ en la expresión.

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Paso 8.2

La respuesta final es $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Paso 8.3

En $0.88539816$ , la segunda derivada es $- 1.38422929$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{π}{4}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Paso 10