Cálculo Ejemplos

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Paso 1

Escribe $\log_{5} (1 + x^{2})$ como una función.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{5} (x)$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\log_{5} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Paso 2.1.2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Paso 2.1.2.5.2

Combina $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Paso 2.1.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ .

$2 \frac{(x^{2} \ln (5) + \ln (5)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} \ln (5) + \ln (5)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.4

Como $\ln (5)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} \ln (5)$ con respecto a $x$ es $\ln (5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\ln (5) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\ln (5) (2 x) + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (5)$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \cdot \ln (5) x + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.7

Como $\ln (5)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\ln (5)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \ln (5) x + 0)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.8.1

Suma $2 \ln (5) x$ y $0$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \ln (5) x)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.3.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x (\ln (5) x)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 (x^{1} x) \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 (x^{1} x^{1}) \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x^{1 + 1} \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x^{2} \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.8

Resta $2 x^{2} \ln (5)$ de $x^{2} \ln (5)$ .

$2 \frac{- x^{2} \ln (5) + \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.9

Combina $2$ y $\frac{- x^{2} \ln (5) + \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} \ln (5) + \ln (5))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10

Simplifica.

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Paso 2.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} \ln (5)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.10.2.1.1

Multiplica $2 (- x^{2} \ln (5))$ .

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Paso 2.2.10.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} \ln (5)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.1.1.2

Simplifica $- 2 \ln (5)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{2} (- \ln (5^{2})) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.1.3

Simplifica $2 \ln (5)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + \ln (5^{2})}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.2

Reordena los factores en $x^{2} (- \ln (25)) + \ln (25)$ .

$\frac{- x^{2} \ln (25) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} \ln (25)$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25)) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (25)$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25)) - 1 (- \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} \ln (25)) - 1 (- \ln (25))$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25) - \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.6

Reescribe $- (x^{2} \ln (25) - \ln (25))$ como $- 1 (x^{2} \ln (25) - \ln (25))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \ln (25) - \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.2.10.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} \ln (25) - \ln (25) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Suma $\ln (25)$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \ln (25) = \ln (25)$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $x^{2} \ln (25) = \ln (25)$ por $\ln (25)$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $x^{2} \ln (25) = \ln (25)$ por $\ln (25)$ .

$\frac{x^{2} \ln (25)}{\ln (25)} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $\ln (25)$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \ln (25)}{\ln (25)} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Cancela el factor común de $\ln (25)$ .

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Paso 3.3.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Paso 3.3.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 1$

Paso 3.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ en $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \log_{5} (1 + {(1)}^{2})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \log_{5} (1 + 1)$

Paso 4.1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \log_{5} (2)$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\log_{5} (2)$ .

$\log_{5} (2)$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ es $(1, \log_{5} (2))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, \log_{5} (2))$

Paso 4.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \log_{5} (1 + {(- 1)}^{2})$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \log_{5} (1 + 1)$

Paso 4.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = \log_{5} (2)$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\log_{5} (2)$ .

$\log_{5} (2)$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ es $(- 1, \log_{5} (2))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, \log_{5} (2))$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, \log_{5} (2)), (- 1, \log_{5} (2))$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = - \frac{{(- 1.1)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{1.21 \ln (25) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica $1.21 \ln (25)$ al mover $1.21$ dentro del algoritmo.

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (25^{1.21}) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $25$ a la potencia de $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (49.14817664) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (\frac{49.14817664}{25})}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Divide $49.14817664$ por $25$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(1.21 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica $1.21 \ln (5)$ al mover $1.21$ dentro del algoritmo.

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (5^{1.21}) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (7.01057605) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (7.01057605 \cdot 5)}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $7.01057605$ por $5$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$ .

$- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Paso 6.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 0.05343065$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(0)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \ln (25) - \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $0$ por $\ln (25)$ .

$f'' (0) = - \frac{0 - \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $\ln (25)$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $0$ por $\ln (5)$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0 + \ln (5))}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Suma $0$ y $\ln (5)$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$ .

$\frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $1.24266986$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Incremento en $(- 1, 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = - \frac{{(1.1)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = - \frac{1.21 \ln (25) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Simplifica $1.21 \ln (25)$ al mover $1.21$ dentro del algoritmo.

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (25^{1.21}) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $25$ a la potencia de $1.21$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (49.14817664) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (\frac{49.14817664}{25})}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Divide $49.14817664$ por $25$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(1.21 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica $1.21 \ln (5)$ al mover $1.21$ dentro del algoritmo.

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (5^{1.21}) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $1.21$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (7.01057605) + \ln (5))}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (7.01057605 \cdot 5)}$

Paso 8.2.2.5

Multiplica $7.01057605$ por $5$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$ .

$- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Paso 8.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $- 0.05343065$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1, \log_{5} (2)), (1, \log_{5} (2))$ .

$(- 1, \log_{5} (2)), (1, \log_{5} (2))$

Paso 10