Cálculo Ejemplos

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 x^{2}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{128}{x}$ con respecto a $x$ es $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Combina $- 128$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.1.5.2.3

Suma $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ y $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $128 x$ con respecto a $x$ es $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $128$ por $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- 128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{128}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 1.1.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 1.1.2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 1.1.2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 1.1.2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 1.1.2.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.1.2.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 128$ .

$128 + 256 x^{- 3}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2

Combina $256$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{256}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $128$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

Paso 1.2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 1.2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 1.2.4

Multiplica cada término en $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ por $x^{3}$ .

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$256 = - 128 x^{3}$

Paso 1.2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 128 x^{3} = 256$ .

$- 128 x^{3} = 256$

Paso 1.2.5.2

Resta $256$ de ambos lados de la ecuación.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Paso 1.2.5.3

Factoriza $- 128$ de $- 128 x^{3} - 256$ .

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Paso 1.2.5.3.1

Factoriza $- 128$ de $- 128 x^{3}$ .

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Paso 1.2.5.3.2

Factoriza $- 128$ de $- 256$ .

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.5.3.3

Factoriza $- 128$ de $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ .

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

Paso 1.2.5.4

Divide cada término en $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ por $- 128$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.4.1

Divide cada término en $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ por $- 128$ .

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Paso 1.2.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 128$ .

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Paso 1.2.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Paso 1.2.5.4.2.1.2

Divide $x^{3} + 2$ por $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

Paso 1.2.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.4.3.1

Divide $0$ por $- 128$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Paso 1.2.5.5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 2$

Paso 1.2.5.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Paso 1.2.5.7

Simplifica $\sqrt[3]{- 2}$ .

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Paso 1.2.5.7.1

Reescribe $- 2$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.5.7.1.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Paso 1.2.5.7.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Paso 1.2.5.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Paso 1.2.5.7.3

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{2}$ como $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{128}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

Paso 4.2.1.2

Divide $256$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

Paso 4.2.2

Suma $- 4$ y $128$ .

$f'' (- 4) = 124$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $124$ .

$124$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

Paso 5.2.1.2

Divide $256$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

Paso 5.2.2

Suma $- 256$ y $128$ .

$f'' (- 1) = - 128$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 128$ .

$- 128$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ porque $f'' (- 1)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

Paso 6.2.1.2

Divide $256$ por $8$ .

$f'' (2) = 32 + 128$

Paso 6.2.2

Suma $32$ y $128$ .

$f'' (2) = 160$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $160$ .

$160$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8