Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \ln (3 x) + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.7

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $3$ .

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.8.1

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.8.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.9

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.10

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.2.10.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.10.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.10.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.10.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.2.10.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Suma $x + \ln (3 x) (2 x)$ y $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Paso 1.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x \ln (3 x) + x$ .

$2 x \ln (3 x) + x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x \ln (3 x) + x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

Paso 2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (3 x) = - x$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x \ln (3 x) = - x$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x \ln (3 x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $\ln (3 x)$ por $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

Paso 2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.6.1

Reescribe la ecuación como $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.6.2

Divide cada término en $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.1

Divide cada término en $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Paso 2.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.3.1

Mueve $e^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (3 x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x \leq 0$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 x \leq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 x \leq 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x \leq 0$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $x^{2} \ln (3 x) + 6$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ por $x$ .

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $3 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.3.3

Simplifica.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Paso 4.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Paso 4.1.2.5

Mueve $e^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

Paso 4.1.2.6

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

Paso 4.1.2.7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $\frac{1}{9 e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

Paso 4.1.2.9.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$- \frac{1}{18 e} + 6$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \ln (3 (0)) + 6$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe $\ln (3 (0))$ como $\ln (3) + \ln (0)$ .

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Paso 4.2.2.1.3

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Paso 4.2.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

Paso 5