Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 - x^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.3

Resta $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.1.2.2

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 2.3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 2.3.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 4

Evalúa $1 - x^{\frac{3}{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$1 - {(0)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$1 - {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$1 - 0^{3}$

Paso 4.1.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1 - 0$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 1)$

Paso 5