Cálculo Ejemplos

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $- y^{j} \log (σ) θ$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ con respecto a $x$ es $- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $- (1 - y^{j})$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ x^{j} θ)$ con respecto a $x$ es $- (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = 1 - σ x^{j} θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - σ x^{j} θ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\log (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - σ x^{j} θ$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Paso 3.5

Como $- σ θ$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- σ x^{j} θ$ con respecto a $x$ es $- σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]))$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ (j x^{j - 1})))$

Paso 3.7

Resta $σ θ j x^{j - 1}$ de $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (- σ θ j x^{j - 1}))$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ y $σ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} θ j x^{j - 1})$

Paso 3.9

Combina $θ$ y $\frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} j x^{j - 1})$

Paso 3.10

Combina $j$ y $\frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} x^{j - 1})$

Paso 3.11

Combina $x^{j - 1}$ y $\frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{x^{j - 1} (j (θ σ))}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)})$

Paso 3.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + 1 (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Paso 3.13

Multiplica $1 - y^{j}$ por $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{1 \ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Paso 4.2

Multiplica $\ln (10)$ por $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$- x^{j - 1} y^{j} j θ \log (σ) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$