Cálculo Ejemplos

$r = 4 \sin (θ) + 4 \cos (θ)$

Paso 1

Dado que $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , reemplaza $\sin (θ)$ por $\frac{y}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} + 4 \cos (θ)$

Paso 2

Dado que $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , reemplaza $\cos (θ)$ por $\frac{x}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r}$

Paso 3

Multiplica ambos lados por $r$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $r$ .

$r \cdot r = r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} = r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$ .

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Paso 3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1.1

Combina $4$ y $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{4 y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

Paso 3.3.1.1.2

Combina $4$ y $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{4 y}{r} + \frac{4 x}{r})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} = r \frac{4 y}{r} + r \frac{4 x}{r}$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$r^{2} = r \frac{4 y}{r} + r \frac{4 x}{r}$

Paso 3.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$r^{2} = 4 y + r \frac{4 x}{r}$

Paso 3.3.1.2.3

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$r^{2} = 4 y + r \frac{4 x}{r}$

Paso 3.3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$r^{2} = 4 y + 4 x$

Paso 4

Dado que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , reemplaza $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ y $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 4 y + 4 x$

Paso 5

Escribe en ecuación ordinaria.

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 5.1.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 4 y = 4 x$

Paso 5.1.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 4 y - 4 x = 0$

Paso 5.1.3

Mueve $- 4 y$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$

Paso 5.2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 5.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 5.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 5.2.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 5.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 5.2.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 5.2.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 5.2.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 5.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 5.2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 5.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Paso 5.3

Sustituye ${(x - 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} - 4 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} - 4 y = 0$

Paso 5.4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} - 4 y = 0 + 4$

Paso 5.5

Completa el cuadrado de $y^{2} - 4 y$ .

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Paso 5.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 5.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 5.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 5.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 5.5.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 5.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 5.5.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 5.5.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 5.5.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 5.5.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 5.5.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 5.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

Paso 5.6

Sustituye ${(y - 2)}^{2} - 4$ por $y^{2} - 4 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 0 + 4$

Paso 5.7

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 0 + 4 + 4$

Paso 5.8

Simplifica $0 + 4 + 4$ .

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Paso 5.8.1

Suma $0$ y $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 + 4$

Paso 5.8.2

Suma $4$ y $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$