Cálculo Ejemplos

$x^{2} \ln (x)$

Paso 1

Escribe $x^{2} \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Paso 2.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Paso 3.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (x) = - x$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Paso 3.6

Resuelve $x$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 5.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Paso 7

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.30326533$ en la expresión.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Paso 8.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $2$ por $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Paso 8.2.2.2

Simplifica $0.60653067 \ln (0.30326533)$ al mover $0.60653067$ dentro del algoritmo.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

Paso 8.2.2.3

Eleva $0.30326533$ a la potencia de $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

Paso 8.2.3

Suma $\ln (0.48496413)$ y $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

Paso 8.3

En $x = 0.30326533$ la derivada es $- 0.42041501$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.60653067$ en la expresión.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Paso 10.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $2$ por $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Paso 10.2.2.2

Simplifica $3.21306134 \ln (1.60653067)$ al mover $3.21306134$ dentro del algoritmo.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

Paso 10.2.2.3

Eleva $1.60653067$ a la potencia de $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

Paso 10.2.3

Suma $\ln (4.58705612)$ y $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $3.12976912$ .

$3.12976912$

Paso 10.3

En $x = 1.60653067$ la derivada es $3.12976912$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12