Cálculo Ejemplos

$\sin (y) = x$ ; $(0, π)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = π$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (y) y'$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (y) y' = 1$

Paso 1.5

Divide cada término en $\cos (y) y' = 1$ por $\cos (y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $\cos (y) y' = 1$ por $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{1}{\cos (y)}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{1}{\cos (y)}$

Paso 1.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{\cos (y)}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (y)}$ a $\sec (y)$ .

$y' = \sec (y)$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (y)$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = π$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$\sec (y)$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $π$ en la expresión.

$\sec (π)$

Paso 1.7.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$- \sec (0)$

Paso 1.7.4

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.7.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(0, π)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 1 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - π = - 1 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - π = - 1 \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - π = - x$

Paso 2.3.2

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x + π$

Paso 3