Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x + 2}$ , $y = \frac{1}{x + 1}$ , $x = 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt{x + 2} = \frac{1}{x + 1}$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 0.24512233 + y = \frac{1}{x + 1}$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = - 0.24512233$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $- 0.24512233$ por $x$ .

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

Paso 1.3.2

Sustituye $- 0.24512233$ por $x$ en $y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{- 0.24512233 + 1}$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

Paso 1.3.2.3

Simplifica $\frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Suma $- 0.24512233$ y $1$ .

$y = \frac{1}{0.75487766}$

Paso 1.3.2.3.2

Divide $1$ por $0.75487766$ .

$y = 1.32471795$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 0.24512233, 1.32471795)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} d x - \int_{- 0.24512233}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 0.24512233$ y $2$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} - (\frac{1}{x + 1}) d x$

Paso 3.2

Para escribir $\sqrt{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $\sqrt{x + 2}$ y $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Paso 3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1} d x$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} \cdot 1 - 1}{x + 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\sqrt{x + 2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} d x$

Paso 4