Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 4.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 5.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 5.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.8

Simplifica.

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Paso 5.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2 \cos (u) d u$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \cos (u) d u$

Paso 7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$2 \sin (u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) + C$