Cálculo Ejemplos

$12 \cos^{3} (2 x)$

Paso 1

Escribe $12 \cos^{3} (2 x)$ como una función.

$f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 12 \cos^{3} (2 x) d x$

Paso 4

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int \cos^{3} (2 x) d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$12 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6

Combina $\cos^{3} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $12$ .

$\frac{12}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9

Factoriza $\cos^{2} (u_{1})$ .

$6 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$6 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11

Sea $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Paso 11.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$6 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$6 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$6 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$6 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Paso 16

Simplifica.

$6 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$6 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Combina $\sin^{3} (2 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \sin (2 x) + 6 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Paso 18.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 18.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ al numerador.

$6 \sin (2 x) + 6 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Paso 18.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$6 \sin (2 x) + 3 (2) \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Paso 18.3.3

Cancela el factor común.

$6 \sin (2 x) + 3 \cdot 2 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Paso 18.3.4

Reescribe la expresión.

$6 \sin (2 x) + 2 (- \sin^{3} (2 x)) + C$

Paso 18.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$