Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Paso 4

Sea $x = 2 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.1.2

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.1.4

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.1.6

Reescribe $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2 \sec (t)$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 \sec (t)$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 6

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Paso 7

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Paso 11

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 14

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Paso 15

Simplifica.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ es $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Paso 17.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Paso 17.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Paso 17.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Paso 17.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Paso 17.1.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Paso 17.1.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Paso 17.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Paso 17.1.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Paso 17.1.10

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Paso 17.1.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Paso 17.1.12

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Paso 17.1.12.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Paso 17.1.12.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Paso 17.1.12.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Paso 17.1.13

Retira los términos de abajo del radical.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Paso 17.1.14

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Paso 17.2

Para escribir $- arcsec (\frac{x}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Paso 17.3

Combina $- arcsec (\frac{x}{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Paso 17.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Paso 17.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.5.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Paso 17.5.2

Reescribe la expresión.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Paso 17.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ .

$F (x) =$ $- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$