Cálculo Ejemplos

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ como $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ .

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.2

Expande $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.3.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.3.3

Cancela el factor común.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 x}$ al numerador.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.4.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Paso 4.3.1.6

Multiplica $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ .

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Paso 4.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

Paso 4.3.1.6.2

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

Paso 4.3.1.6.3

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

Paso 4.3.1.6.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

Paso 4.3.1.6.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

Paso 4.3.1.6.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

Paso 4.3.1.6.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

Paso 4.3.1.6.8

Suma $1$ y $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Resta $\frac{1}{2}$ de $- \frac{1}{2}$ .

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

Paso 11.2.2

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$