Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x^{4})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.4

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{4}} x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.5

Combina $\frac{4}{x^{4}}$ y $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{3 x^{2}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x (3 x^{2})}$

Paso 5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 (x^{1} x^{2})}$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{1 + 2}}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{3}}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{4}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot 0$

Paso 8

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $0$ .

$0$