Cálculo Ejemplos

$x^{3} y^{2} = x y^{3} + 6$

Paso 1

Set each solution of $x^{3} y^{2}$ as a function of $x$ .

$y = x y^{3} + 6 \to f (x) = x y^{3} + 6$

Paso 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} y^{2} = x y^{3} + 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x y^{3} + 6)$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Paso 2.2.6

Reordena.

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Paso 2.2.6.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Paso 2.2.6.2

Reordena los términos.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{3} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Paso 2.3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.6

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 0$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Suma $3 x y^{2} y' + y^{3}$ y $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3}$

Paso 2.3.4.2

Reordena los términos.

$y^{3} + 3 y^{2} x y'$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y^{3} + 3 y^{2} x y'$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

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Paso 2.5.1

Resta $3 y^{2} x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Paso 2.5.2

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 2.5.3

Factoriza $x y y'$ de $2 x^{3} y y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $x y y'$ de $2 x^{3} y y'$ .

$x y y' (2 x^{2}) - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 2.5.3.2

Factoriza $x y y'$ de $- 3 y^{2} x y'$ .

$x y y' (2 x^{2}) + x y y' (- 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 2.5.3.3

Factoriza $x y y'$ de $x y y' (2 x^{2}) + x y y' (- 3 y)$ .

$x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 2.5.4

Divide cada término en $x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$ por $x y (2 x^{2} - 3 y)$ y simplifica.

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Paso 2.5.4.1

Divide cada término en $x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$ por $x y (2 x^{2} - 3 y)$ .

$\frac{x y y' (2 x^{2} - 3 y)}{x y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y y' (2 x^{2} - 3 y)}{x y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (2 x^{2} - 3 y)}{y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (2 x^{2} - 3 y)}{y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 x^{2} - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.2.3

Cancela el factor común de $2 x^{2} - 3 y$ .

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Paso 2.5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x^{2} - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y$ .

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Paso 2.5.4.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $x y (2 x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x^{2} - 3 y))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x^{2} - 3 y))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.5.4.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x y (2 x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x (y (2 x^{2} - 3 y))}$

Paso 2.5.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x (y (2 x^{2} - 3 y))}$

Paso 2.5.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.5.4.3.1.3.1

Factoriza $y$ de $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$

Paso 2.5.4.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$

Paso 2.5.4.3.2

Para escribir $- \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 2.5.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (2 x^{2} - 3 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.5.4.3.3.1

Multiplica $\frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y x}{(2 x^{2} - 3 y) x}$

Paso 2.5.4.3.3.2

Reordena los factores de $(2 x^{2} - 3 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{2} - 3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.3.5.1

Factoriza $y$ de $y^{2} - 3 x y x$ .

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Paso 2.5.4.3.5.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - 3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.5.1.2

Factoriza $y$ de $- 3 x y x$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 3 x \cdot x)}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.5.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (- 3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (y - 3 x \cdot x)}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.5.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.4.3.5.2.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y (y - 3 (x \cdot x))}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.5.4.3.5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' = \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$y (y - 3 x^{2}) = 0$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $y (y - 3 x^{2}) = 0$ por $y$ y simplifica.

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Paso 3.2.1.1

Divide cada término en $y (y - 3 x^{2}) = 0$ por $y$ .

$\frac{y (y - 3 x^{2})}{y} = \frac{0}{y}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (y - 3 x^{2})}{y} = \frac{0}{y}$

Paso 3.2.1.2.1.2

Divide $y - 3 x^{2}$ por $1$ .

$y - 3 x^{2} = \frac{0}{y}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1.3.1

Divide $0$ por $y$ .

$y - 3 x^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} = - y$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - y$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - y$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- y}{- 3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- y}{- 3}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- y}{- 3}$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{y}{3}$

Paso 3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{y}{3}}$

Paso 3.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{y}{3}}$ .

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Paso 3.2.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{y}{3}}$ como $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.2.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.2.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.2.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.2.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.2.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.2.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.2.5.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{y \cdot 3}}{3}$

Paso 3.2.5.5

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{y \cdot 3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Paso 3.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Paso 3.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Paso 3.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Paso 4

Solve the function $f (x) = x y^{3} + 6$ at $x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) = (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) \cdot y^{3} + 6$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$ .

$\frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$

Paso 5

Solve the function $f (x) = x y^{3} + 6$ at $x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) = (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) \cdot y^{3} + 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$ .

$- \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Paso 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6, y = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

$y = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6, y = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Paso 7