Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ no está definida.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2

Como $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ desde la izquierda y $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Como $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ desde la izquierda y $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ desde la derecha, entonces $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ es una asíntota vertical.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 5.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.2.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.4

Evalúa el límite.

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Paso 5.4.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.4.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Paso 5.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Paso 5.6.1.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

Paso 5.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

Paso 5.6.2.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

Paso 5.6.3

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.6.4.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.6.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.6.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.6.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 6.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.2.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.4

Evalúa el límite.

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Paso 6.4.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.4.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.4.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 6.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Paso 6.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Paso 6.6.1.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

Paso 6.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

Paso 6.6.2.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

Paso 6.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

Paso 6.6.4

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 6.6.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.6.5.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.6.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 6.6.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 6.6.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 6.6.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.6.5.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.6.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.6.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.6.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.6.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 6.6.5.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 7

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 8

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Asíntotas horizontales: $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 10