Cálculo Ejemplos

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$- (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) \cos (x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Reordena los factores de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.4.2

Resta $2 \cos (x) \sin (x)$ de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 3.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 3.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 3.8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 3.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 3.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Paso 3.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Paso 3.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) - 4 (- \sin^{2} (x))$

Paso 3.13.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x)$

Paso 3.13.3

Reescribe $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) + {(2 \sin (x))}^{2}$

Paso 3.13.4

Reescribe $4 \cos^{2} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = - {(2 \cos (x))}^{2} + {(2 \sin (x))}^{2}$

Paso 3.13.5

Reordena $- {(2 \cos (x))}^{2}$ y ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = {(2 \sin (x))}^{2} - {(2 \cos (x))}^{2}$

Paso 3.13.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 \sin (x)$ y $b = 2 \cos (x)$ .

$f'' (x) = (2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - (2 \cos (x)))$

Paso 3.13.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = (2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Paso 3.13.8

Expande $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Paso 3.13.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Paso 3.13.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.9

Combina los términos opuestos en $2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.9.1

Reordena los factores en los términos $2 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ y $2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) - 2 \cdot (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cdot (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.9.2

Suma $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ y $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 0 + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.9.3

Suma $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.10.1

Multiplica $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.10.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.10.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.10.1.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.10.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.10.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Paso 3.13.10.2

Multiplica $2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.10.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) \cos (x)$

Paso 3.13.10.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 (\cos (x) \cos (x))$

Paso 3.13.10.2.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 (\cos (x) \cos (x))$

Paso 3.13.10.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 {\cos (x)}^{1 + 1}$

Paso 3.13.10.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Paso 6

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 7

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 7.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 7.2.5

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Paso 10.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Paso 10.1.6

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$4 + 0$

Paso 10.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 11

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = - \sin^{2} (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Reordena $- \sin^{2} (\frac{π}{2})$ y $\cos^{2} (\frac{π}{2})$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos^{2} (\frac{π}{2}) - \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 12.2.2

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 12.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 12.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (π)$

Paso 12.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (0)$

Paso 12.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Paso 12.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Paso 12.2.7

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$4 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$4 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 {(- 1)}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4 \cdot 1 - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 14.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Paso 14.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Paso 14.1.9

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$4 + 0$

Paso 14.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 15

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Reordena $- \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$ y $\cos^{2} (\frac{3 π}{2})$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2.2

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 16.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 16.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (3 π)$

Paso 16.2.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (π)$

Paso 16.2.5

$f (\frac{3 π}{2}) = - \cos (0)$

Paso 16.2.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Paso 16.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Paso 16.2.8

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sin^{2} (0) - 4 \cos^{2} (0)$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \cos^{2} (0)$

Paso 18.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \cos^{2} (0)$

Paso 18.1.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - 4 \cos^{2} (0)$

Paso 18.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 4 \cdot 1^{2}$

Paso 18.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 - 4 \cdot 1$

Paso 18.1.6

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Paso 18.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 19

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \sin^{2} (0) + \cos^{2} (0)$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1

Reordena $- \sin^{2} (0)$ y $\cos^{2} (0)$ .

$f (0) = \cos^{2} (0) - \sin^{2} (0)$

Paso 20.2.2

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f (0) = \cos (2 \cdot 0)$

Paso 20.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Paso 20.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 20.2.5

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sin^{2} (π) - 4 \cos^{2} (π)$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$4 \sin^{2} (0) - 4 \cos^{2} (π)$

Paso 22.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \cos^{2} (π)$

Paso 22.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \cos^{2} (π)$

Paso 22.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - 4 \cos^{2} (π)$

Paso 22.1.5

$0 - 4 {(- \cos (0))}^{2}$

Paso 22.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 4 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Paso 22.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 4 {(- 1)}^{2}$

Paso 22.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Paso 22.1.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Paso 22.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 23

$x = π$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = π$ es un máximo local

Paso 24

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 24.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = - \sin^{2} (π) + \cos^{2} (π)$

Paso 24.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1

Reordena $- \sin^{2} (π)$ y $\cos^{2} (π)$ .

$f (π) = \cos^{2} (π) - \sin^{2} (π)$

Paso 24.2.2

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f (π) = \cos (2 π)$

Paso 24.2.3

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (π) = \cos (0)$

Paso 24.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (π) = 1$

Paso 24.2.5

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 25

Estos son los extremos locales de $f (x) = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, - 1)$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ es un mínimo local

$(0, 1)$ es un máximo local

$(π, 1)$ es un máximo local

Paso 26