Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = 5 \sqrt{x}$ es continua.

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[4, 9]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

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Paso 2.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[4, 9]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.1.10

Combina $5$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(4, 9)$ .

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Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(4, 9)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 4.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{5}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Paso 4.1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Paso 4.1.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 4.1.3

Establece el denominador en $\frac{5}{2 \sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x} = 0$

Paso 4.1.4

Resuelve $x$

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Paso 4.1.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.4.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.4

Simplifica.

$4 x = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x = 0$

Paso 4.1.4.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1.4.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.4.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 4.1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(4, 9)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(4, 9)$ porque la derivada es continua en $(4, 9)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[4, 9]$ y diferenciable en $(4, 9)$ .

$f (x)$ es continua en $[4, 9]$ y diferenciable en $(4, 9)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[4, 9]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Paso 7.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = 5 \sqrt{2^{2}}$

Paso 7.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (4) = 5 \cdot 2$

Paso 7.2.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$f (4) = 10$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[4, 9]$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Paso 8.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (9) = 5 \sqrt{3^{2}}$

Paso 8.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (9) = 5 \cdot 3$

Paso 8.2.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (9) = 15$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $15$ .

$15$

Paso 9

Resuelve $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (9) + f (4))}{- (9 + 4)}$ .

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Paso 9.1

Factoriza cada término.

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Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{15 - 10}{(9) - (4)}$

Paso 9.1.2

Resta $10$ de $15$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{(9) - (4)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{9 - 4}$

Paso 9.1.4

Resta $4$ de $9$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{5}$

Paso 9.1.5

Divide $5$ por $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Paso 9.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 9.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 9.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 9.3

Multiplica cada término en $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 9.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 9.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$5 = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 9.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 9.4.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} = 5$

Paso 9.4.2

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.4.2.1

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 9.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 9.4.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}$

Paso 9.4.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Paso 9.4.4

Simplifica el exponente.

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Paso 9.4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.4.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.4.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Paso 9.4.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Paso 9.4.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Paso 9.4.4.1.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Paso 9.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.4.4.2.1

Simplifica ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

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Paso 9.4.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Paso 9.4.4.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{25}{2^{2}}$

Paso 9.4.4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{25}{4}$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = \frac{25}{4}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 4$ y $b = 9$ .

Hay una tangente en $x = \frac{25}{4}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 4$ y $b = 9$ .

Paso 11