Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 108$ .

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 108$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 108$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Como $108$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $108$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $108$ .

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 2.1.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.1.6.3.2.2

Suma $216 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $216$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ .

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

Paso 2.2.2

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 108)}^{2}$ por $1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 108$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 108$ de ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 108$ de ${(x^{2} + 108)}^{2}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 108$ de $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 108$ de $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Paso 2.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 108$ de ${(x^{2} + 108)}^{4}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.6.2

Cancela el factor común.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.6.3

Reescribe la expresión.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 108$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.9

Como $108$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $108$ con respecto a $x$ es $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.16

Combina $216$ y $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17

Simplifica.

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Paso 2.2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.17.2.1

Multiplica $- 3$ por $216$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.2.2

Multiplica $216$ por $108$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.17.3.1

Factoriza $648$ de $- 648 x^{2} + 23328$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.17.3.1.1

Factoriza $648$ de $- 648 x^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.3.1.2

Factoriza $648$ de $23328$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.3.1.3

Factoriza $648$ de $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.3.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.3.3

Reordena $- x^{2}$ y $6^{2}$ .

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.2.17.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 6$ y $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

Paso 3.3.2

Establece $6 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece $6 + x$ igual a $0$ .

$6 + x = 0$

Paso 3.3.2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 3.3.3

Establece $6 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Establece $6 - x$ igual a $0$ .

$6 - x = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $6 - x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 6$

Paso 3.3.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$x = 6$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ verdadera.

$x = - 6, 6$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 6$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $36$ y $108$ .

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

Paso 4.1.2.3

Cancela el factor común de $36$ y $144$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.2.1

Factoriza $36$ de $144$ .

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 6$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ es $(- 6, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 6, \frac{1}{4})$

Paso 4.3

Sustituye $6$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $36$ y $108$ .

$f (6) = \frac{36}{144}$

Paso 4.3.2.3

Cancela el factor común de $36$ y $144$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

Paso 4.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.3.2.1

Factoriza $36$ de $144$ .

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Paso 4.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Paso 4.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (6) = \frac{1}{4}$

Paso 4.3.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $6$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ es $(6, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(6, \frac{1}{4})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6.1$ en la expresión.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $6.1$ de $6$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Combina exponentes.

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Paso 6.2.2.3.1

Multiplica $648$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $- 64.8$ por $6 + 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 6.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $- 6.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Paso 6.2.3.2

Suma $37.21$ y $108$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

Paso 6.2.3.3

Eleva $145.21$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

Paso 6.2.4

Divide $- 784.08$ por $3061889.942761$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Paso 6.3

En $- 6.1$ , la segunda derivada es $- 0.00025607$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 6)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 6)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 6, 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Combina exponentes.

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Paso 7.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.2.1.2

Eleva $6 + 0$ a la potencia de $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.2.1.3

Eleva $6 + 0$ a la potencia de $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.2.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $6$ y $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

Paso 7.2.3.2

Suma $0$ y $108$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

Paso 7.2.3.3

Eleva $108$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

Paso 7.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $648$ por $36$ .

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

Paso 7.2.4.2

Cancela el factor común de $23328$ y $1259712$ .

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Paso 7.2.4.2.1

Factoriza $23328$ de $23328$ .

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

Paso 7.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.4.2.2.1

Factoriza $23328$ de $1259712$ .

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Paso 7.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Paso 7.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $\frac{1}{54}$ .

$\frac{1}{54}$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $0.0\overline{185}$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 6, 6)$ .

Incremento en $(- 6, 6)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.1$ en la expresión.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $6$ y $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Combina exponentes.

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Paso 8.2.2.3.1

Multiplica $648$ por $12.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 8.2.2.3.2

Multiplica $7840.8$ por $6 - 6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.3.1

Eleva $6.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Paso 8.2.3.2

Suma $37.21$ y $108$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

Paso 8.2.3.3

Eleva $145.21$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

Paso 8.2.4

Divide $- 784.07999999$ por $3061889.942761$ .

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Paso 8.3

En $6.1$ , la segunda derivada es $- 0.00025607$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(6, \infty)$ .

Decrecimiento en $(6, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ .

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Paso 10