Cálculo Ejemplos

$z = u^{\frac{3}{2}} (u + c e^{u})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d c} [f (c) g (c)]$ es $f (c) \frac{d}{d c} [g (c)] + g (c) \frac{d}{d c} [f (c)]$ donde $f (c) = u^{\frac{3}{2}}$ y $g (c) = u + c e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d c} [u + c e^{u}] + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u + c e^{u}$ con respecto a $c$ es $\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2

Como $u$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $u$ con respecto a $c$ es $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

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Paso 3.1

Como $e^{u}$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $c e^{u}$ con respecto a $c$ es $e^{u} \frac{d}{d c} [c]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \frac{d}{d c} [c]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ es $n c^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \cdot 1) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.3

Multiplica $e^{u}$ por $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u}) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Suma $0$ y $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.2

Como $u^{\frac{3}{2}}$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $c$ es $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \cdot 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + u \cdot 0 + c e^{u} \cdot 0$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $u$ por $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + c e^{u} \cdot 0$

Paso 5.2.2

Multiplica $0$ por $c$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0 e^{u}$

Paso 5.2.3

Multiplica $0$ por $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0$

Paso 5.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0$

Paso 5.2.5

Suma $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ y $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u}$

Paso 5.3

Reordena los factores de $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ .

$e^{u} u^{\frac{3}{2}}$