Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

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Paso 1.1.3.3.2.1

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2.2

Suma $2 x^{2} - x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.3.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ como $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ .

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Paso 4.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.3.1

Suma $1$ y $2$ .

$- (3 + 1)$

Paso 4.1.2.3.2

Suma $3$ y $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Paso 4.1.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ por $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$1 - 2 + 1$

Paso 4.2.2.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.3.1

Resta $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Paso 4.2.2.3.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

Paso 4.3.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

Paso 5