Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Suma $3$ y $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Paso 1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Paso 2

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $i$ sea igual a $1$ .

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

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Paso 3.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Paso 3.2

Evalúa $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

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Paso 3.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.3.1.1

Suma $24$ y $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Multiplica $24$ por $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3.1.3

Suma $48$ y $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Paso 3.2.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $600$ por $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Paso 3.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Paso 3.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{29400}{3}$

Paso 3.2.3.2.3

Divide $29400$ por $3$ .

$9800$

Paso 3.3

Evalúa $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

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Paso 3.3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Paso 3.3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Suma $24$ y $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $24$ por $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Paso 3.3.3.3

Divide $600$ por $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Paso 3.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $300$ .

$- 300$

Paso 3.4

Evalúa $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

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Paso 3.4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3.4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(11) (24)$

Paso 3.4.3

Multiplica $11$ por $24$ .

$264$

Paso 3.5

Suma los resultados de las sumas.

$9800 - 300 + 264$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Resta $300$ de $9800$ .

$9500 + 264$

Paso 3.6.2

Suma $9500$ y $264$ .

$9764$

Paso 4

Evalúa $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

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Paso 4.1

Expande la serie para cada valor de $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.5

Suma $1$ y $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.9

Resta $2$ de $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.10

Suma $6$ y $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.11

Suma $12$ y $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.12

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.13

Multiplica $2$ por $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.14

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.15

Resta $3$ de $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.16

Suma $15$ y $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.17

Suma $29$ y $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.18

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.19

Multiplica $2$ por $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Paso 4.2.20

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Paso 4.2.21

Resta $4$ de $32$ .

$55 + 28 + 11$

Paso 4.2.22

Suma $28$ y $11$ .

$55 + 39$

Paso 4.2.23

Suma $55$ y $39$ .

$94$

Paso 5

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$9764 - 94$

Paso 6

Resta $94$ de $9764$ .

$9670$