Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Paso 1

Escribe $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ como una función.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 9$ y $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} - 81$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Como $- 81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ y cuya suma es $b = - 18$ .

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Paso 2.1.3.5.1.1

Factoriza $- 18$ de $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.1.2

Reescribe $- 18$ como $- 9$ más $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.3.6.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.3

Aplica la regla del producto a $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.2

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.4

Reescribe $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.5

Eleva $x + 9$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.6

Eleva $x + 9$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.8

Cancela el factor común de ${(x + 9)}^{2}$ .

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Paso 2.1.3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 3.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 5.2.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 6

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 9)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Resta $9$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (8) = - 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 7.3

En $x = 8$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 9)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 9)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(9, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1

Resta $9$ de $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Paso 8.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Paso 8.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (10) = - 1$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 8.3

En $x = 10$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(9, \infty)$ .

Decrecimiento en $(9, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

Paso 10