Cálculo Ejemplos

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Escribe $x - 3 \sqrt[3]{x}$ como una función.

$f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3 \sqrt[3]{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.2.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 2.1.2.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.1.2.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2.1.2.10

Combina $- 3$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.12

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 2.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Paso 3.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm 1$

Paso 3.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1, - 1$ .

$1, - 1$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 5.2

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 5.3

Resuelve $x$

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Paso 5.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 5.3.3

Resuelve $x$

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Paso 5.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.3.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2

La respuesta final es $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.3

En $x = - 2$ la derivada es $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 8.2.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 8.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 8.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 8.2.1.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{1 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 8.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 8.2.1.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $2^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 8.2.2

La respuesta final es $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 8.3

Simplifica.

$- 0.58740105$

Paso 8.4

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- 0.58740105$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 9.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $2^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 9.2.2

La respuesta final es $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 9.3

Simplifica.

$- 0.58740105$

Paso 9.4

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- 0.58740105$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2

La respuesta final es $1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3

Simplifica.

$0.37003947$

Paso 10.4

En $x = 2$ la derivada es $0.37003947$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (- 1, 0), (0, 1)$

Paso 12