Cálculo Ejemplos

$y = \sin (\tan (7 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \tan (7 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (7 x)$ .

$\cos (\tan (7 x)) \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x$ .

$\cos (\tan (7 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (7 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x$ .

$\cos (\tan (7 x)) (\sec^{2} (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (7 x)) (\sec^{2} (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\tan (7 x)) (\sec^{2} (7 x) (7 \cdot 1))$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$\cos (\tan (7 x)) (\sec^{2} (7 x) \cdot 7)$

Paso 3.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $\sec^{2} (7 x)$ .

$\cos (\tan (7 x)) (7 \cdot \sec^{2} (7 x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve $7$ a la izquierda de $\cos (\tan (7 x))$ .

$7 \cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x)$

Paso 4.2

Reordena los factores de $7 \cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x)$ .

$7 \sec^{2} (7 x) \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.3

Reescribe $\sec (7 x)$ en términos de senos y cosenos.

$7 {(\frac{1}{\cos (7 x)})}^{2} \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (7 x)}$ .

$7 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (7 x)} \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$7 \frac{1}{\cos^{2} (7 x)} \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.6

Combina $7$ y $\frac{1}{\cos^{2} (7 x)}$ .

$\frac{7}{\cos^{2} (7 x)} \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.7

Combina $\frac{7}{\cos^{2} (7 x)}$ y $\cos (\tan (7 x))$ .

$\frac{7 \cos (\tan (7 x))}{\cos^{2} (7 x)}$

Paso 4.8

Factoriza $\cos (7 x)$ de $\cos^{2} (7 x)$ .

$\frac{7 \cos (\tan (7 x))}{\cos (7 x) \cos (7 x)}$

Paso 4.9

Separa las fracciones.

$\frac{7}{\cos (7 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (7 x))}{\cos (7 x)}$

Paso 4.10

Reescribe $\frac{\cos (\tan (7 x))}{\cos (7 x)}$ como un producto.

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \frac{1}{\cos (7 x)})$

Paso 4.11

Escribe $\cos (\tan (7 x))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\frac{\cos (\tan (7 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (7 x)})$

Paso 4.12

Simplifica.

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Paso 4.12.1

Divide $\cos (\tan (7 x))$ por $1$ .

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \frac{1}{\cos (7 x)})$

Paso 4.12.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (7 x)}$ a $\sec (7 x)$ .

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

Paso 4.13

Separa las fracciones.

$\frac{7}{1} \cdot \frac{1}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

Paso 4.14

Convierte de $\frac{1}{\cos (7 x)}$ a $\sec (7 x)$ .

$\frac{7}{1} \sec (7 x) (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

Paso 4.15

Divide $7$ por $1$ .

$7 \sec (7 x) (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

Paso 4.16

Multiplica $7 \sec (7 x) (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$ .

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Paso 4.16.1

Eleva $\sec (7 x)$ a la potencia de $1$ .

$7 (\sec^{1} (7 x) \sec (7 x)) \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.16.2

Eleva $\sec (7 x)$ a la potencia de $1$ .

$7 (\sec^{1} (7 x) \sec^{1} (7 x)) \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.16.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 {\sec (7 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (7 x))$

Paso 4.16.4

Suma $1$ y $1$ .

$7 \sec^{2} (7 x) \cos (\tan (7 x))$