Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ , $y = x^{2} - 3$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$

Paso 1.2

Resuelve $x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} = - 3$

Paso 1.2.1.2

Resta $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$

Paso 1.2.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 5 u + 1 = - 3$

$u = x^{2} + y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 5 u + 1 + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Suma $1$ y $3$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Paso 1.2.5

Factoriza $u^{2} - 5 u + 4$ con el método AC.

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Paso 1.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Paso 1.2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0 + y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.7

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 1.2.7.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 1.2.8

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.8.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 1.2.8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 1.2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 4) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 4, 1$

Paso 1.2.10

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 4$

$x^{2} = 1 + y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.11

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 4$

Paso 1.2.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 1.2.12.2

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 1.2.12.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.12.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 1.2.12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.12.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 1.2.12.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 1.2.12.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 1.2.13

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Paso 1.2.14

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.14.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 1$

Paso 1.2.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.2.14.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.14.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.14.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.14.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.14.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.2.15

La solución a $x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$ es $x = 2, - 2, 1, - 1$ .

$x = 2, - 2, 1, - 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 3$

Paso 1.3.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = {(2)}^{2} - 3$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2^{2} - 3$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $2^{2} - 3$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 4 - 3$

Paso 1.3.2.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$y = 1$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{2} - 3$

Paso 1.4.2

Sustituye $1$ por $x$ en $y = {(1)}^{2} - 3$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1^{2} - 3$

Paso 1.4.2.2

Simplifica $1^{2} - 3$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1 - 3$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $3$ de $1$ .

$y = - 2$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 2$ y $- 1$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Suma $x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Paso 3.3.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Paso 3.5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Paso 3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Paso 3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Paso 3.11

Aplica la regla de la constante.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Paso 3.12

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.12.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$5 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Paso 3.12.2

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Paso 3.12.3

Evalúa $- 4 x$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4

Simplifica.

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Paso 3.12.4.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$5 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.6

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{- 1 + 8}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.8

Suma $- 1$ y $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.9

Combina $5$ y $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.10

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.11

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{- 1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.13

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{- 32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - - \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + 1 (\frac{32}{5})) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.16

Multiplica $\frac{32}{5}$ por $1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35}{3} - \frac{- 1 + 32}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.18

Suma $- 1$ y $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.19

Para escribir $\frac{35}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.20

Para escribir $- \frac{31}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.21

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.12.4.21.1

Multiplica $\frac{35}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.21.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.21.3

Multiplica $\frac{31}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.21.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.23

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.4.23.1

Multiplica $35$ por $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.23.2

Multiplica $- 31$ por $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.23.3

Resta $93$ de $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.24

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{82}{15} + 4 + 4 \cdot - 2$

Paso 3.12.4.25

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{82}{15} + 4 - 8$

Paso 3.12.4.26

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Paso 3.12.4.27

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Paso 3.12.4.28

Combina $- 4$ y $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Paso 3.12.4.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Paso 3.12.4.30

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.4.30.1

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Paso 3.12.4.30.2

Resta $60$ de $82$ .

$\frac{22}{15}$

Paso 4

$A r e a = \int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 3 d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $1$ .

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Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - (x^{2} - 3) d x$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} - - 3$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3 d x$

Paso 5.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.3.1

Resta $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 + 3$

Paso 5.3.2

Suma $1$ y $3$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 5 x^{2} + 4 d x$

Paso 5.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Paso 5.6

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Paso 5.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Paso 5.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Paso 5.9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Paso 5.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.10.1

Combina $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}$ y $4 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + 4 x]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Paso 5.10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.10.2.1

Evalúa $\frac{1}{5} x^{5} + 4 x$ en $1$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Paso 5.10.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3

Simplifica.

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Paso 5.10.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.5

Combina $4$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.7.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{1 + 20}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.7.2

Suma $1$ y $20$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1 + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.9

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{- 1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.11

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.12

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.13

Combina $- 4$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 4 \cdot 5}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.15

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.15.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 20}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.15.2

Resta $20$ de $- 1$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{21}{5} - - \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.17

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{21}{5} + 1 (\frac{21}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.18

Multiplica $\frac{21}{5}$ por $1$ .

$\frac{21}{5} + \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21 + 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.20

Suma $21$ y $21$ .

$\frac{42}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 5.10.2.3.22

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Paso 5.10.2.3.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Paso 5.10.2.3.24

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Paso 5.10.2.3.25

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 5.10.2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{42}{5} - 5 \frac{1 + 1}{3}$

Paso 5.10.2.3.27

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{2}{3})$

Paso 5.10.2.3.28

Combina $- 5$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 5 \cdot 2}{3}$

Paso 5.10.2.3.29

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 10}{3}$

Paso 5.10.2.3.30

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{42}{5} - \frac{10}{3}$

Paso 5.10.2.3.31

Para escribir $\frac{42}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Paso 5.10.2.3.32

Para escribir $- \frac{10}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.10.2.3.33

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.10.2.3.33.1

Multiplica $\frac{42}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.10.2.3.33.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.10.2.3.33.3

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Paso 5.10.2.3.33.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{15}$

Paso 5.10.2.3.34

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{42 \cdot 3 - 10 \cdot 5}{15}$

Paso 5.10.2.3.35

Simplifica el numerador.

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Paso 5.10.2.3.35.1

Multiplica $42$ por $3$ .

$\frac{126 - 10 \cdot 5}{15}$

Paso 5.10.2.3.35.2

Multiplica $- 10$ por $5$ .

$\frac{126 - 50}{15}$

Paso 5.10.2.3.35.3

Resta $50$ de $126$ .

$\frac{76}{15}$

Paso 6

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} - 3 d x - \int_{1}^{2} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Paso 7

Integra para obtener el área entre $1$ y $2$ .

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Paso 7.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Paso 7.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Paso 7.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 7.3.1

Suma $x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Paso 7.3.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Paso 7.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Paso 7.5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Paso 7.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Paso 7.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Paso 7.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Paso 7.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Paso 7.10

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Paso 7.11

Aplica la regla de la constante.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Paso 7.12

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.12.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Paso 7.12.2

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $2$ y en $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Paso 7.12.3

Evalúa $- 4 x$ en $2$ y en $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4

Simplifica.

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Paso 7.12.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.4

Resta $1$ de $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.5

Combina $5$ y $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.6

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.7

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35}{3} - \frac{32 - 1}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.10

Resta $1$ de $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.11

Para escribir $\frac{35}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.12

Para escribir $- \frac{31}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.12.4.13.1

Multiplica $\frac{35}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.13.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.13.3

Multiplica $\frac{31}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.13.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.15

Simplifica el numerador.

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Paso 7.12.4.15.1

Multiplica $35$ por $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.15.2

Multiplica $- 31$ por $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.15.3

Resta $93$ de $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.16

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4 \cdot 1$

Paso 7.12.4.17

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4$

Paso 7.12.4.18

Suma $- 8$ y $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Paso 7.12.4.19

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Paso 7.12.4.20

Combina $- 4$ y $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Paso 7.12.4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Paso 7.12.4.22

Simplifica el numerador.

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Paso 7.12.4.22.1

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Paso 7.12.4.22.2

Resta $60$ de $82$ .

$\frac{22}{15}$

Paso 8

Suma las áreas $\frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15}$ .

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{22 + 76 + 22}{15}$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Suma $22$ y $76$ .

$\frac{98 + 22}{15}$

Paso 8.2.2

Suma $98$ y $22$ .

$\frac{120}{15}$

Paso 8.2.3

Divide $120$ por $15$ .

$8$

Paso 9