Cálculo Ejemplos

$y = \frac{16}{x}$ , $y = x$ , $y = \frac{x}{4}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{16}{x} = x$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{16}{x} = x$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.2

Multiplica cada término en $\frac{16}{x} = x$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica cada término en $\frac{16}{x} = x$ por $x$ .

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} = 16$ .

$x^{2} = 16 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.2.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 4$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = 4 y = \frac{4}{4}$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = 4$

Paso 1.4

Sustituye $4$ por $x$ en $y = \frac{4}{4}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4}{4}$

Paso 1.4.2

Divide $4$ por $4$ .

$y = 1$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = - 4$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$y = - 4 y = \frac{- 4}{4}$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis.

$y = - 4$

Paso 1.6

Divide $- 4$ por $4$ .

$y = - 1$

Paso 1.7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} x d x - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 4$ y $4$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 4}^{4} x - (\frac{16}{x}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $\frac{16}{x}$ .

$\int_{- 4}^{4} x - \frac{16}{x} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 4}^{4} x d x + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Paso 3.6

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - (16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.7

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.8

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $4$ y en $- 4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Paso 3.9.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $4$ y en $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3

Simplifica.

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Paso 3.9.1.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.3

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 3.9.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.1.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.3.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$8 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.5

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$8 - 16 (\frac{1}{2}) - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.6

Combina $- 16$ y $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 16}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.7

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 3.9.1.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.1.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$8 + \frac{- 8}{1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.7.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$8 - 8 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.8

Resta $8$ de $8$ .

$0 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.1.3.9

Resta $16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$ de $0$ .

$- 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Paso 3.9.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 16 \ln (\frac{| 4 |}{| - 4 |})$

Paso 3.9.3

Simplifica.

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Paso 3.9.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{| - 4 |})$

Paso 3.9.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 4$ y $0$ es $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{4})$

Paso 3.9.3.3

Divide $4$ por $4$ .

$- 16 \ln (1)$

Paso 3.9.3.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 16 \cdot 0$

Paso 3.9.3.5

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$0$

Paso 4