Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Paso 1.3

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 2$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

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Paso 1.3.1

Considera el límite con el múltiplo constante $- 2$ eliminado.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.3

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 2$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

Paso 5.2

Mueve el término $\frac{1}{- 2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x (e^{x})}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 7.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$0$