Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 1.3

Como la función $e^{\frac{1}{4} x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $7$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Considera el límite con el múltiplo constante $7$ eliminado.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{4} x}}$

Paso 1.3.2

Como el exponente $\frac{1}{4} x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{\frac{1}{4} x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{\frac{x}{4}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Paso 3.5

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Paso 3.6

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{4}$ y $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{4} e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.8

Combina $\frac{7}{4}$ y $e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 5

Combina factores.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina $3$ y $\frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 5.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{12}{7}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 7.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 7.1.3

Como el exponente $\frac{x}{4}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{\frac{x}{4}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 7.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Paso 7.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Paso 7.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Paso 7.3.4

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Paso 7.3.7

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 7.5

Combina factores.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Combina $2$ y $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 7.5.3

Combina $x$ y $\frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 8

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 9

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 9.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 9.1.3

Como el exponente $\frac{x}{4}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{\frac{x}{4}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 9.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 9.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Paso 9.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Paso 9.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Paso 9.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Paso 9.3.4

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 9.3.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 9.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Paso 9.3.7

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} 1 \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 9.5

Multiplica $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ por $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 10

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$

Paso 11

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 \cdot 0$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Multiplica $\frac{12}{7} \cdot 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Combina $\frac{12}{7}$ y $8$ .

$\frac{12 \cdot 8}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Paso 12.1.2

Multiplica $12$ por $8$ .

$\frac{96}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Paso 12.2

Multiplica $\frac{96}{7} \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Combina $\frac{96}{7}$ y $4$ .

$\frac{96 \cdot 4}{7} \cdot 0$

Paso 12.2.2

Multiplica $96$ por $4$ .

$\frac{384}{7} \cdot 0$

Paso 12.3

Multiplica $\frac{384}{7}$ por $0$ .

$0$