Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Paso 1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Paso 1.3.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 3.4

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 3.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 3.6

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 3.7

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Paso 3.8

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.1.1

Reordena $\cos (x)$ y $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

Paso 3.9.1.2

Reescribe $\cos (x) \sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

Paso 3.9.1.3

Cancela los factores comunes.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \tan (x)}$

Paso 3.9.2

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (x)}$

Paso 3.9.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 5.2

Combina $x$ y $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{\sin (x)}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 7.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 7.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 7.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 7.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 7.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 7.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.2.4.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 7.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 7.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 7.1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 7.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 7.1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 7.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 7.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 7.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 7.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 7.3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 7.3.6

Reordena los términos.

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 7.3.7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 8.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 8.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 8.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 8.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 8.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Paso 10.1.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$2 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Paso 10.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Paso 10.1.4

Suma $0$ y $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 10.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 10.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 1$

Paso 10.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$