Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{54}{x} - 2$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{54}{x} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $54$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{54}{x}$ con respecto a $x$ es $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $54$ .

$2 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 54 x^{- 2} + 0$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina $- 54$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.4.2.3

Suma $2 x - \frac{54}{x^{2}}$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{54}{x^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{54}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 54$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{54}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 - 54 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$2 - 54 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 - 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 1.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 1.2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 - 54 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 1.2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 - 54 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 1.2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 - 54 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 1.2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 - 54 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 1.2.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$2 - 54 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.2.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 54$ .

$2 + 108 x^{- 3}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 108 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.2.4.2

Combina $108$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 + \frac{108}{x^{3}}$

Paso 1.2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{108}{x^{3}} + 2$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{108}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 2$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{108}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{108}{x^{3}} = - 2$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{108}{x^{3}} = - 2$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{108}{x^{3}} = - 2$ por $x^{3}$ .

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$108 = - 2 x^{3}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 x^{3} = 108$ .

$- 2 x^{3} = 108$

Paso 2.5.2

Resta $108$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{3} - 108 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{3} - 108$ .

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 108 = 0$

Paso 2.5.3.2

Factoriza $- 2$ de $- 108$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 54 = 0$

Paso 2.5.3.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{3}) - 2 (54)$ .

$- 2 (x^{3} + 54) = 0$

Paso 2.5.4

Divide cada término en $- 2 (x^{3} + 54) = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.5.4.1

Divide cada término en $- 2 (x^{3} + 54) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{3} + 54)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 (x^{3} + 54)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Divide $x^{3} + 54$ por $1$ .

$x^{3} + 54 = \frac{0}{- 2}$

Paso 2.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$x^{3} + 54 = 0$

Paso 2.5.5

Resta $54$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 54$

Paso 2.5.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{- 54}$

Paso 2.5.7

Simplifica $\sqrt[3]{- 54}$ .

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Paso 2.5.7.1

Reescribe $- 54$ como ${(- 3)}^{3} \cdot 2$ .

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Paso 2.5.7.1.1

Factoriza $- 27$ de $- 54$ .

$x = \sqrt[3]{- 27 (2)}$

Paso 2.5.7.1.2

Reescribe $- 27$ como ${(- 3)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 3)}^{3} \cdot 2}$

Paso 2.5.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = - 3 \sqrt[3]{2}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 3 \sqrt[3]{2}$ en $f (x) = x^{2} + \frac{54}{x} - 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3 \sqrt[3]{2}$ en la expresión.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = {(- 3 \sqrt[3]{2})}^{2} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 3 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = {(- 3)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 {\sqrt[3]{2}}^{2} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{2^{2}} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.5

Cancela el factor común de $54$ y $- 3$ .

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Paso 3.1.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{3 (18)}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{3 (18)}{3 (- \sqrt[3]{2})} - 2$

Paso 3.1.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{3 \cdot 18}{3 (- \sqrt[3]{2})} - 2$

Paso 3.1.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{18}{- \sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18}{\sqrt[3]{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.7

Multiplica $\frac{18}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (\frac{18}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}) - 2$

Paso 3.1.2.1.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.1.8.1

Multiplica $\frac{18}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.1.2.1.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.1.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 2$

Paso 3.1.2.1.8.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 2$

Paso 3.1.2.1.9

Cancela el factor común de $18$ y $2$ .

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Paso 3.1.2.1.9.1

Factoriza $2$ de $18 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (9 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2} - 2$

Paso 3.1.2.1.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (9 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 (1)} - 2$

Paso 3.1.2.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (9 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 1} - 2$

Paso 3.1.2.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{9 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{1} - 2$

Paso 3.1.2.1.9.2.4

Divide $9 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (9 {\sqrt[3]{2}}^{2}) - 2$

Paso 3.1.2.1.10

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (9 \sqrt[3]{2^{2}}) - 2$

Paso 3.1.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (9 \sqrt[3]{4}) - 2$

Paso 3.1.2.1.12

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - 9 \sqrt[3]{4} - 2$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.2.2.1

Resta $9 \sqrt[3]{4}$ de $9 \sqrt[3]{4}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 0 - 2$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = - 2$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3 \sqrt[3]{2}$ en $f (x) = x^{2} + \frac{54}{x} - 2$ es $(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2}) \cup (- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.87976314$ en la expresión.

$f'' (- 3.87976314) = \frac{108}{{(- 3.87976314)}^{3}} + 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.87976314$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.87976314) = \frac{108}{- 58.40037573} + 2$

Paso 5.2.1.2

Divide $108$ por $- 58.40037573$ .

$f'' (- 3.87976314) = - 1.84930317 + 2$

Paso 5.2.2

Suma $- 1.84930317$ y $2$ .

$f'' (- 3.87976314) = 0.15069682$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.15069682$ .

$0.15069682$

Paso 5.3

En $- 3.87976314$ , la segunda derivada es $0.15069682$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2})$ .

Incremento en $(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.67976314$ en la expresión.

$f'' (- 3.67976314) = \frac{108}{{(- 3.67976314)}^{3}} + 2$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.67976314$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.67976314) = \frac{108}{- 49.82641005} + 2$

Paso 6.2.1.2

Divide $108$ por $- 49.82641005$ .

$f'' (- 3.67976314) = - 2.16752521 + 2$

Paso 6.2.2

Suma $- 2.16752521$ y $2$ .

$f'' (- 3.67976314) = - 0.16752521$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.16752521$ .

$- 0.16752521$

Paso 6.3

En $- 3.67976314$ , la segunda derivada es $- 0.16752521$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$ .

$(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$

Paso 8