Cálculo Ejemplos

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{5}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Paso 1.2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2.5.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 15$ .

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

Paso 1.3.2.2

Combina $\frac{- 15}{x^{2}}$ y ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x + 5}{x}$ .

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Combina $15$ y $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Paso 1.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.3.6

Combinar.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Paso 1.3.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Paso 1.3.7.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Paso 1.3.8

Multiplica $15 {(x + 5)}^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ y $g (x) = x^{4}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.5.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.5.6

Combina fracciones.

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Paso 2.5.6.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.5.6.2

Combina $- 15$ y $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.5.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.4.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 2.6.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.5

Mueve $10$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.6

Multiplica $10$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.7

Reescribe ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.8

Expande $(x + 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.4.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.4.1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.4.1.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.9.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.9.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.9.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.11.1

Multiplica $10$ por $- 4$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.11.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.13.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1.13.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.13.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1.13.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.13.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.6.4.1.13.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.13.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.13.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.15

Simplifica.

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Paso 2.6.4.1.15.1

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.15.2

Multiplica $- 40$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.1.15.3

Multiplica $- 100$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.2

Resta $60 x^{5}$ de $30 x^{5}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.6.4.3

Resta $600 x^{4}$ de $150 x^{4}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $30 x^{3}$ de $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.5.1.1

Factoriza $30 x^{3}$ de $- 30 x^{5}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.1.2

Factoriza $30 x^{3}$ de $- 450 x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.1.3

Factoriza $30 x^{3}$ de $- 1500 x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.1.4

Factoriza $30 x^{3}$ de $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.1.5

Factoriza $30 x^{3}$ de $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.6.5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ y cuya suma es $b = - 15$ .

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Paso 2.6.5.2.1.1

Factoriza $- 15$ de $- 15 x$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.2.1.2

Reescribe $- 15$ como $- 5$ más $- 10$

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.6.5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

Paso 2.6.5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 5$ .

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

Paso 2.6.6

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.6.1

Factoriza $x^{3}$ de $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

Paso 2.6.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.6.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 2.6.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 2.6.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.8

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.10

Reescribe $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.13

Multiplica $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ por $1$ .

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 2.6.14

Reordena los factores en $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

Paso 3.2

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 5$ y $g (x) = x + 10$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $x + 5$ por $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.8.2

Multiplica $x + 10$ por $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.8.4

Suma $5$ y $10$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.5.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Paso 3.5.10

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.10.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Paso 3.5.10.2

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.10.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} (2 x + 15)$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Paso 3.5.10.2.2

Factoriza $x^{4}$ de $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Paso 3.5.10.2.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

Paso 3.7

Combina $30$ y $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ .

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.3

Multiplica $2$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.4

Mueve $15$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.5

Multiplica $15$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.6

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.7

Expande $(- 5 x - 25) (x + 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.8.4.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.8.4.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.4.1.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.1.8.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.8.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.8.1.2

Multiplica $10$ por $- 5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.8.1.3

Multiplica $- 25$ por $10$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.8.2

Resta $25 x$ de $- 50 x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.10

Simplifica.

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Paso 3.8.4.1.10.1

Multiplica $- 5$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.10.2

Multiplica $- 75$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.1.10.3

Multiplica $30$ por $- 250$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.2

Resta $150 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Paso 3.8.4.3

Resta $2250 x$ de $450 x$ .

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Paso 3.8.5

Factoriza $30$ de $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ .

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Paso 3.8.5.1

Factoriza $30$ de $- 90 x^{2}$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Paso 3.8.5.2

Factoriza $30$ de $- 1800 x$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

Paso 3.8.5.3

Factoriza $30$ de $- 7500$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.5.4

Factoriza $30$ de $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.5.5

Factoriza $30$ de $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.7

Factoriza $- 1$ de $- 60 x$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (60 x)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

Paso 3.8.9

Reescribe $- 250$ como $- 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

Paso 3.8.10

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Paso 3.8.11

Reescribe $- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ como $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ .

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Paso 3.8.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$