Cálculo Ejemplos

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 3.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{π}{3}$ en $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 4.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 4.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{3}$ en $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ es $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.94719755$ en la expresión.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Paso 6.3

En $0.94719755$ , la segunda derivada es $- 0.53195951$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.14719755$ en la expresión.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Paso 7.2

La respuesta final es $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Paso 7.3

En $1.14719755$ , la segunda derivada es $0.50208433$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{π}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Paso 9