Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 10$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.7.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Paso 1.1.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.4

Reescribe $- 20$ como $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.6

Reescribe $- (x + 20)$ como $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x + 20 = 0$

Paso 2.3

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 20$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 20$ .

$- 20$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{x + 20}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 20)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 21$ en la expresión.

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Suma $- 21$ y $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 21$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Paso 6.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Paso 6.3

En $x = - 21$ la derivada es $- \frac{1}{9261}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 20)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 20)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 20, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Suma $- 10$ y $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $10$ y $- 1000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Factoriza $10$ de $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Paso 7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $10$ de $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Paso 7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Paso 7.3

En $x = - 10$ la derivada es $\frac{1}{100}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 20, 0)$ .

Incremento en $(- 20, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Suma $1$ y $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Paso 8.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Paso 8.2.3

Divide $21$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Paso 8.2.4

Multiplica $- 1$ por $21$ .

$f' (1) = - 21$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $- 21$ .

$- 21$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $- 21$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 20, 0)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Paso 10