Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{18 - x}$

Paso 1

Escribe $x \sqrt{18 - x}$ como una función.

$f (x) = x \sqrt{18 - x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{18 - x}$ como ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(18 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 18 - x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $18 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $18 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8

Combina fracciones.

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Paso 2.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.3

Mueve ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [18 - x] + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $18 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.10

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14

Combina fracciones.

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Paso 2.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14.2

Combina $\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 2.16

Multiplica ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.17

Para escribir ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.18

Combina ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.20

Multiplica ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.20.1

Mueve ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x + {(18 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.21

Simplifica ${(18 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (18 - x) \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.22

Mueve $2$ a la izquierda de $18 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (18 - x)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23

Simplifica.

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Paso 2.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + 2 \cdot 18 + 2 (- x)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.23.2.1.1

Multiplica $2$ por $18$ .

$\frac{- x + 36 + 2 (- x)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x + 36 - 2 x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.2.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 36}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.3

Factoriza $3$ de $- 3 x + 36$ .

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Paso 2.23.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 36}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.3.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.3.3

Factoriza $3$ de $3 (- x) + 3 (12)$ .

$\frac{3 (- x + 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.5

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 12))}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$\frac{3 (- (x - 12))}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.7

Reescribe $- (x - 12)$ como $- 1 (x - 12)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - 12))}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.23.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 12}{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 12}{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 12$ y $g (x) = {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(18 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(18 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{18 - x}$

Paso 3.4

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{18 - x}$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{18 - x}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{18 - x}$

Paso 3.5.3

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{18 - x}$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{18 - x}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) \frac{d}{d x} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{18 - x}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 18 - x$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $18 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $18 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} \cdot {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} \cdot {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} \cdot {(18 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} \cdot {(18 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} \cdot {(18 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} \cdot {(18 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.11

Combina fracciones.

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Paso 3.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2} \cdot {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{{(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.11.3

Mueve ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (18 - x))}{18 - x}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $18 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (18) + \frac{d}{d x} (- x)))}{18 - x}$

Paso 3.13

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{18 - x}$

Paso 3.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{18 - x}$

Paso 3.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{18 - x}$

Paso 3.16

Multiplica.

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Paso 3.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{18 - x}$

Paso 3.16.2

Multiplica $x - 12$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{18 - x}$

Paso 3.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{18 - x}$

Paso 3.18

Combina fracciones.

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Paso 3.18.1

Multiplica $x - 12$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{18 - x}$

Paso 3.18.2

Multiplica $\frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - x}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 3}{(18 - x) \cdot 2}$

Paso 3.18.3

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot ({(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(18 - x) \cdot 2}$

Paso 3.18.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $18 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (18 - x)}$

Paso 3.19

Simplifica.

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Paso 3.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (18 - x)}$

Paso 3.19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.19.3.1

Factoriza $3$ de $3 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 12) \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 3.19.3.1.1

Factoriza $3$ de $3 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(18 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.1.2

Factoriza $3$ de $3 (x - 12) \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(18 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.1.3

Factoriza $3$ de $3 ({(18 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 12) \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(18 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 12) (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.2

Sea $u_{2} = {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.19.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} + x - 12}{2 u_{2}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.19.3.2.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) + x - 12}{2 u_{2}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.2.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 12}{2 u_{2}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {({(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4

Simplifica.

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Paso 3.19.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.19.3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.19.3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.19.3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (18 - x) + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.1.2

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (18 - x) + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 \cdot 18 + 2 (- x) + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.1.4

Multiplica $2$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{36 + 2 (- x) + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{36 - 2 x + x - 12}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.2

Resta $12$ de $36$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 2 x + x + 24}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.3.4.3

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- x + 24}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.4

Combina los términos.

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Paso 3.19.4.1

Combina $3$ y $\frac{- x + 24}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 18 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.4.2

Multiplica $2$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{36 + 2 (- x)}$

Paso 3.19.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{36 - 2 x}$

Paso 3.19.4.4

Reescribe $\frac{\frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{36 - 2 x}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{36 - 2 x})$

Paso 3.19.4.5

Multiplica $\frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{36 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (36 - 2 x)}$

Paso 3.19.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.19.5.1

Factoriza $2$ de $36 - 2 x$ .

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Paso 3.19.5.1.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (18) - 2 x)}$

Paso 3.19.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (18) + 2 (- x))}$

Paso 3.19.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (18) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (18 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (18 - x))}$

Paso 3.19.5.2

Combina exponentes.

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Paso 3.19.5.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (18 - x)}$

Paso 3.19.5.2.2

Eleva $18 - x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{4 ((18 - x) {(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 3.19.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{4 {(18 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.19.5.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.19.5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 3.19.5.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.19.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) + 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.19.7

Reescribe $24$ como $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.19.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x - 24))}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.19.9

Reescribe $- (x - 24)$ como $- 1 (x - 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (x - 24))}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.19.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{3 (x - 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.19.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (x - 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 3.19.12

Multiplica $\frac{3 (x - 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x - 24)}{4 {(18 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{18 - x}$ como ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(18 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 18 - x$ .

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Paso 5.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $18 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $18 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.8

Combina fracciones.

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Paso 5.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.8.3

Mueve ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [18 - x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [18 - x] + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $18 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.10

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.14

Combina fracciones.

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Paso 5.1.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.14.2

Combina $\frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.14.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 5.1.16

Multiplica ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.1.17

Para escribir ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.18

Combina ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.20

Multiplica ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.20.1

Mueve ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} {(18 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x + {(18 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x + {(18 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.21

Simplifica ${(18 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (18 - x) \cdot 2}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.22

Mueve $2$ a la izquierda de $18 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (18 - x)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + 2 \cdot 18 + 2 (- x)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.23.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.23.2.1.1

Multiplica $2$ por $18$ .

$\frac{- x + 36 + 2 (- x)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x + 36 - 2 x}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.2.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 36}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.3

Factoriza $3$ de $- 3 x + 36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.23.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 36}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.3.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.3.3

Factoriza $3$ de $3 (- x) + 3 (12)$ .

$\frac{3 (- x + 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.5

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 12))}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$\frac{3 (- (x - 12))}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.7

Reescribe $- (x - 12)$ como $- 1 (x - 12)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - 12))}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.23.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{3 (x - 12)}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 (x - 12) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $3 (x - 12) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.3.1.1

Divide cada término en $3 (x - 12) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.3.1.2.1.2

Divide $x - 12$ por $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{3}$

Paso 6.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x - 12 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 12$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{{(18 - x)}^{1}}}$

Paso 7.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{18 - x}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{18 - x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{18 - x} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{18 - x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{18 - x}$ como ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(18 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(18 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(18 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(18 - x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (18 - x) = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 18 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.6

Multiplica.

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Paso 7.3.2.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $18$ .

$72 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$72 - 4 x = 0^{2}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$72 - 4 x = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.3.1

Resta $72$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 72$

Paso 7.3.3.2

Divide cada término en $- 4 x = - 72$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 7.3.3.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 72$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 72}{- 4}$

Paso 7.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 7.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 72}{- 4}$

Paso 7.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 72}{- 4}$

Paso 7.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.2.3.1

Divide $- 72$ por $- 4$ .

$x = 18$

Paso 7.4

Establece el radicando en $\sqrt{18 - x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$18 - x < 0$

Paso 7.5

Resuelve $x$

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Paso 7.5.1

Resta $18$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < - 18$

Paso 7.5.2

Divide cada término en $- x < - 18$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.5.2.1

Divide cada término de $- x < - 18$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 18}{- 1}$

Paso 7.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 18}{- 1}$

Paso 7.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 18}{- 1}$

Paso 7.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.2.3.1

Divide $- 18$ por $- 1$ .

$x > 18$

Paso 7.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \geq 18$

$[18, \infty)$

$x \geq 18$

$[18, \infty)$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 12, 18$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 12$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 ((12) - 24)}{4 {(18 - (12))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Factoriza $4$ de $3 ((12) - 24)$ .

$\frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {(18 - (12))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.1

Factoriza $4$ de $4 {(18 - (12))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 (3 (3 - 6))}{4 ({(18 - (12))}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {(18 - (12))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (3 - 6)}{{(18 - (12))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.3

Resta $6$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{{(18 - (12))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.4

Simplifica el denominador.

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Paso 10.4.1

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{{(18 - 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.4.2

Resta $12$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{6^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.5

Simplifica la expresión.

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Paso 10.5.1

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{- 9}{6^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{6^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11

$x = 12$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 12$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 12$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $12$ en la expresión.

$f (12) = (12) \sqrt{18 - (12)}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$f (12) = 12 \sqrt{18 - 12}$

Paso 12.2.2

Resta $12$ de $18$ .

$f (12) = 12 \sqrt{6}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $12 \sqrt{6}$ .

$y = 12 \sqrt{6}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 18$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 {(18 - (18))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1.1

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 {(18 - 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.2

Resta $18$ de $18$ .

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 14.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 \cdot 0^{3}}$

Paso 14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 ((18) - 24)}{4 \cdot 0}$

Paso 14.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3 ((18) - 24)}{0}$

Paso 14.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3 ((18) - 24)}{0}$

Paso 14.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 16