Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 + \ln (x) = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) = - 1$

Paso 2.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Paso 2.4

Reescribe $\ln (x) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Paso 2.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $x \ln (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{e}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{e}$ por $x$ .

$(\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$\frac{1}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Paso 4.1.2.2

Reescribe $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Paso 4.1.2.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Paso 4.1.2.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1)$

Paso 4.1.2.6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{1}{e} (0 - 1)$

Paso 4.1.2.7

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 1$

Paso 4.1.2.8

Combina $\frac{1}{e}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Paso 4.1.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{e}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$(0) \ln (0)$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$

Paso 5