Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 5$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Paso 2

Reescribe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$V = x - 1$

Paso 2.5

Simplifica.

$V = x - 1$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + - x]_{1}^{5})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}$ y $- x]_{1}^{5}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{5}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2} - x$ en $5$ y en $1$ .

$V = π ((\frac{5^{2}}{2} - 1 \cdot 5) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 1 \cdot 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.3

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.4

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{25 - 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.6.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$V = π (\frac{25 - 10}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.6.2

Resta $10$ de $25$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

Paso 7.2.2.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Paso 7.2.2.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Paso 7.2.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Paso 7.2.2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

Paso 7.2.2.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{- 1}{2})$

Paso 7.2.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 7.2.2.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Paso 7.2.2.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 7.2.2.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{15 + 1}{2})$

Paso 7.2.2.17

Suma $15$ y $1$ .

$V = π (\frac{16}{2})$

Paso 7.2.2.18

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 7.2.2.18.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2})$

Paso 7.2.2.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Paso 7.2.2.18.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Paso 7.2.2.18.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{8}{1})$

Paso 7.2.2.18.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$V = π \cdot 8$

Paso 7.2.2.19

Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$V = 8 π$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = 8 π$

Forma decimal:

$V = 25.13274122 \dots$

Paso 9