Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{(1 + x^{2})}$ , $(3, 0.3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 0.3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $1 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.8

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.9

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$\frac{- {(3)}^{2} + 1}{{({(3)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.10.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.10.1.3

Suma $- 9$ y $1$ .

$\frac{- 8}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.10.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 8}{{(9 + 1)}^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{- 8}{10^{2}}$

Paso 1.10.2.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 8}{100}$

Paso 1.10.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.10.3.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $100$ .

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Paso 1.10.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 (- 2)}{100}$

Paso 1.10.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.10.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $100$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Paso 1.10.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Paso 1.10.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{25}$

Paso 1.10.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{25}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{2}{25}$ y un punto dado $(3, 0.3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0.3) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 0.3 = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{2}{25} \cdot - 3$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + 3 (\frac{2}{25})$

Paso 2.3.1.5.2

Combina $3$ y $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{3 \cdot 2}{25}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{6}{25}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - 0.3 = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $0.3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $0.3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3 \cdot \frac{25}{25}$

Paso 2.3.2.3

Combina $0.3$ y $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + \frac{0.3 \cdot 25}{25}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Paso 2.3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 2 x + 6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Paso 2.3.2.6

Multiplica $0.3$ por $25$ .

$y = \frac{- 2 x + 6 + 7.5}{25}$

Paso 2.3.2.7

Suma $6$ y $7.5$ .

$y = \frac{- 2 x + 13.5}{25}$

Paso 2.3.2.8

Factoriza $0.5$ de $- 2 x + 13.5$ .

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Paso 2.3.2.8.1

Factoriza $0.5$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 13.5}{25}$

Paso 2.3.2.8.2

Factoriza $0.5$ de $13.5$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)}{25}$

Paso 2.3.2.8.3

Factoriza $0.5$ de $0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25}$

Paso 2.3.2.9

Factoriza $25$ de $25$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25 (1)}$

Paso 2.3.2.10

Separa las fracciones.

$y = \frac{0.5}{25} \cdot \frac{- 4 x + 27}{1}$

Paso 2.3.2.11

Divide $0.5$ por $25$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{1}$

Paso 2.3.2.12

Cancela el factor común de $0.02$ .

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Paso 2.3.2.12.1

Factoriza $0.02$ de $1$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Paso 2.3.2.12.2

Cancela el factor común.

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Paso 2.3.2.12.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 4 x + 27}{50}$

Paso 2.3.2.13

Divide la fracción $\frac{- 4 x + 27}{50}$ en dos fracciones.

$y = \frac{- 4 x}{50} + \frac{27}{50}$

Paso 2.3.2.14

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.14.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $50$ .

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Paso 2.3.2.14.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{50} + \frac{27}{50}$

Paso 2.3.2.14.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.14.1.2.1

Factoriza $2$ de $50$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 (25)} + \frac{27}{50}$

Paso 2.3.2.14.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 25} + \frac{27}{50}$

Paso 2.3.2.14.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Paso 2.3.2.14.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{27}{50}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{27}{50}$

Paso 3