Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin (x))}{\sin (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (\sin (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (\sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (\sin (0))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\sin (x)) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4

Reordena los factores de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (\sin (x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (\sin (x))}{\cos (x)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (\sin (x))}{\cos (x)}$

Paso 4.1.2

Divide $\cos (\sin (x))$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (\sin (x))$

Paso 4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to 0} \sin (x))$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\cos (\sin (lim_{x \to 0} x))$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\cos (\sin (0))$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\cos (0)$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1$