Cálculo Ejemplos

$y = (x^{2} - 120) e^{x}$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 120 e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$

Paso 3.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$ .

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Paso 4.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x} = 0$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $- 120 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Paso 4.1.1.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Paso 4.1.1.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 120) = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 120$ con el método AC.

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Paso 4.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 120$ y cuya suma es $2$ .

$- 10, 12$

Paso 4.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$e^{x} ((x - 10) (x + 12)) = 0$

Paso 4.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$

Paso 4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 12 = 0$

Paso 4.3

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 4.3.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 4.4

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 4.5

Establece $x + 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x + 12$ igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 12$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$ verdadera.

$x = 10, - 12$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ en $x = 10$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f (10) = {(10)}^{2} e^{10} - 120 e^{10}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$f (10) = 100 e^{10} - 120 e^{10}$

Paso 5.2.2

Resta $120 e^{10}$ de $100 e^{10}$ .

$f (10) = - 20 e^{10}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 20 e^{10}$ .

$- 20 e^{10}$

Paso 6

Resuelve la función original $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ en $x = - 12$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 12$ en la expresión.

$f (- 12) = {(- 12)}^{2} e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$f (- 12) = 144 e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = 144 (\frac{1}{e^{12}}) - 120 e^{- 12}$

Paso 6.2.1.3

Combina $144$ y $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 e^{- 12}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 \frac{1}{e^{12}}$

Paso 6.2.1.5

Combina $- 120$ y $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} + \frac{- 120}{e^{12}}$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - \frac{120}{e^{12}}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 12) = \frac{144 - 120}{e^{12}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $120$ de $144$ .

$f (- 12) = \frac{24}{e^{12}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{24}{e^{12}}$ .

$\frac{24}{e^{12}}$

Paso 7

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ son $y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$ .

$y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$

Paso 8