Cálculo Ejemplos

$f (x) = 16 \sqrt{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Combina $16$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.11

Combina $- 8$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 8 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.12

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.13

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 2.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Paso 3.9

Combina $x^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Paso 3.10

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Paso 3.11

Combina $4$ y $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2}$

Paso 3.12

Multiplica.

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Paso 3.12.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{2}$

Paso 3.12.2

Mueve $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.13

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.14.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (x^{\frac{5}{2}})}$

Paso 3.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.14.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = \frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ como ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Combina $\frac{5}{2}$ y $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}]$

Paso 4.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Paso 4.7.2

Resta $2$ de $- 5$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Paso 4.9

Combina $x^{- \frac{7}{2}}$ y $\frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Paso 4.10

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

Paso 4.11

Combina $- 6$ y $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$\frac{- 6 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

Paso 4.12

Multiplica.

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Paso 4.12.1

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$\frac{- 30 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

Paso 4.12.2

Mueve $x^{- \frac{7}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.13

Factoriza $2$ de $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.14.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (x^{\frac{7}{2}})}$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$